Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \(m\left( {x - 1} \right) < {\left( {x + 1} \right)^2}\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;4} \right]\).

Đáp án C

Phương pháp:

+) Biến đổi phương trình về dạng \(m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right] \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( {1;4} \right]} f\left( x \right)\)

+) Khảo sát hàm số \(y = f\left( x \right)\) và tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1;4} \right]} f\left( x \right)\)

Cách giải:

\(\forall x \in \left( {1;4} \right] \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right]\)

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ta có \(m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right] \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( {1;4} \right]} f\left( x \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2 - {x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 8 \Rightarrow m < 8\)