Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết \(AB = CD = \sqrt 5 ,\,\,\,BC = AD = \sqrt {10} ,\,\,\,AC = BD = \sqrt {13} \)

Đáp án A

Phương pháp:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Theo đề bài, ta có: \(AB = CD = \sqrt 5 ,\,\,BC = AD = \sqrt {10} ,\,\,AC = BD = \sqrt {13} \)

\( \Rightarrow \Delta BCD = \Delta ADC,\,\,\,\Delta ABD = \Delta BAC\)

\( \Rightarrow BJ = AJ,\,\,ID = IC\)

\( \Rightarrow \Delta JAB,\,\,\Delta ICD\) lần lượt là tam giác cân tại J, I

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IJ \bot AB\\IJ \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow IJ\) là trung trực của các đoạn thẳng AB và CD

Mà O là trung điểm của IJ \( \Rightarrow OA = OB = OC = OD \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Xét tam giác ACD: \(I{A^2} = \frac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) - C{D^2}}}{4} = \frac{{2\left( {13 + 10} \right) - 5}}{4} = \frac{4} \Rightarrow JA = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Tam giác IJA vuông tại I \( \Rightarrow OA = \sqrt {I{A^2} + I{O^2}} = \sqrt {\frac{5}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)