Với giá trị thực nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều?

Đáp án B

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Xác định các điểm cực trị của hàm số. Ba điểm cực trị đó luôn tạo thành tam giác cân.

Cách giải:

\(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4} \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì \(m > 0\). Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là:

\(A\left( {0;2m + {m^4}} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\)

Dễ dàng kiểm tra được tam giác ABC cân tại A với mọi \(m > 0\)

Ta có: \(A{B^2} = m + {m^4};\,\,\,B{C^2} = 4m\)

Để \(\Delta ABC\) đều thì \(A{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {ktm} \right)\\m = \sqrt[3]{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \sqrt[3]{3}\)