Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(MN\) cắt các cạnh \(SB\), \(SC\) lần lượt tại \(Q\), \(P\). Đặt \(\frac = x\), \({V_1}\) là thể tích của khối chóp \(S.MNQP\), \(V\) là thể tích của khối chóp \(S.ABCD\). Tìm \(x\) để \({V_1} = \frac{1}{2}V\).

Lời giải

Chọn A

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN\;{\rm{//}}\;BC}\\{\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow PQ\;{\rm{//}}\;BC\).

\(\frac{{{V_{S.MNQ}}}}{V} + \frac{{{V_{S.NPQ}}}}{V} = \frac{}{V}\) \( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{V_{S.MNQ}}}}{{2{V_{S.ABD}}}} + \frac{{{V_{S.NPQ}}}}{{2{V_{S.BCS}}}} = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \frac.\frac.\frac + \frac.\frac.\frac = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{x}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} = 1\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4}\) (vì \(x > 0\)).