Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn B Cách 1: (Dùng bất đẳng thức CauChy) \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{2} + \frac{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}.\frac{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\) (do \(x > 0\)) Dấu xảy ra khi \(\frac{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\). Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\) Cách 2: (Dùng đạo hàm) Xét hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) Ta có \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y{\rm{'}} = 3 - \frac{8}{{{x^3}}}\) Cho \(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} = 3 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\) \( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}} \right) = 3\sqrt[3]{9}\).