Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng \(R\sqrt 3 \). Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường trong đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết ta có OA = O’B = R

Gọi AA’ là đường sinh hình trụ thì \(\left\{ \begin{array}{l}O'A' = \frac{{AA'}}{{\sqrt 3 }} = R\\\widehat {{\rm{BAA'}}} = 30^\circ \end{array} \right.\)

Vì OO’ // (ABA’)

Nên d[OO’;(AB)] = d[OO’;(ABA’)] = d[O’;(ABA’)]

Gọi H là trung điểm của A’B

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right.\)

Do đó O’H ⊥ (ABA’) nên d[O’;(ABA’)] = O’H

Xét tam giác ABA’ vuông tại A’

Suy ra \(BA' = AA'.\tan 30^\circ = R\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R\)

Mà OA = O’B = R nên O’A’ = O’B = A’B = R

Suy ra tam giác A’BO’ đều

Mà O’H là trung tuyến, suy ra O’H ⊥ A’B

Hay tam giác O’HB vuông tại H

Theo định lý Pytago ta có O’H² = O’B² – HB²

Hay \(O'{H^2} = {R^2} - {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \frac{{3{{\rm{R}}^2}}}{4}\)

Suy ra \[{\rm{O}}'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\]

Vậy ta chọn đáp án C.