Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(14\)?

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y = \frac}\)\( \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Vì \( - 1 - {m^2} < 0\,\,\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 14\).

Ta có: \(y\left( 3 \right) = \frac} = 14\)\( \Rightarrow {m^2} = 25\) \( \Leftrightarrow m = \pm 5\).

Mà theo đề bài, \(m\) nhận giá trị nguyên dương nên \(m = 5.\)

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn.