Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\). Tìm điểm \(M\) trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[M{A^2}--2M{B^2}\] lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {IB} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 2\left( {2 - x} \right)\\2 - y = 2\left( { - 1 - y} \right)\\1 - z = 2\left( {3 - z} \right).\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 4\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 4;5} \right)\).

Khi đó, ta có: \(M{A^2} - 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} =  - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2}\)

                      \( =  - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\).

Để \[M{A^2}--2M{B^2}\] lớn nhất thì \( - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(M\left( {3; - 4;0} \right)\).