Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng

Đáp án đúng là: B

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sin 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3\cos 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\int {\cos 3x.{e^x}dx} \] (1)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 3\sin 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\int {\cos 3x.{e^x}dx} = \cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} \] (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\left( {\cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} } \right)\]

\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x} - 9I\]

\[10I = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x}\]

\[I = \frac{1}\left( {\sin 3x - 3\cos 3x} \right){e^x} + C\]

Mà \[F\left( 0 \right) + C = 1 \Leftrightarrow - \frac{3} + C = 1\] hay \[C = \frac.\]