Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là

Đáp án đúng là: D

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DHF\).

Ta có: \(DF = CH = x,{\rm{ }}FH = 30 - 2x \Rightarrow p = 15.\)

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là

\(V = {S_{\Delta FDH}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} .\)

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\),\(x \in \left( {\frac{2};15} \right)\).

\[f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\]; \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {TM} \right)\\x = 15\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {\frac{2};15} \right)} f(x) = 125\) khi \(x = 10.\)

Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất: \({V_{\max }} = 750\sqrt 3 {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}).\) Khi đó: \(x = 10{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)