III. Vận dụng Cho nửa đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] đường kính \[AB.\] Vẽ các tia tiếp tuyến \[Ax,By\] với nửa đường tròn. Lấy điểm \[M\] di động trên tia \[Ax,\] điểm \[N\] di động trên tia \[By\] sao cho \[AM \cdot BN = {R^2}.\] Cho các nhận định sau: (i) \[MN\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right).\] (ii) \[\widehat {MON} = 90^\circ .\] Kết luận nào sau đây là đúng nhất?

Đáp án đúng là: C

⦁ Kẻ \[OH \bot MN\] tại \[H.\]

Vì \[AM \cdot BN = {R^2} = AO \cdot BO\] nên \[\frac = \frac.\]

Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta BNO,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {OBN} = 90^\circ \] (vì \[AM,BN\] là các tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]);

\[\frac = \frac\] (chứng minh trên).

Do đó (c.g.c)

Suy ra \[\widehat = \widehat ;\] \[\widehat = \widehat \] và \[\frac = \frac\] hay \[\frac = \frac.\]

Vì tam giác \[AOM\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat + \widehat = 90^\circ .\] Suy ra \[\widehat + \widehat = 90^\circ .\]

Ta có \[\widehat {AOB} = 180^\circ \] hay \[\widehat + \widehat {MON} + \widehat = 180^\circ .\]

Tức là, \[\widehat {MON} = 180^\circ - \left( {\widehat + \widehat } \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\] Do đó (ii) là nhận định đúng.

⦁ Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta ONM,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {MON} = 90^\circ ;\]

\[\frac = \frac\] (do \[\frac = \frac,\,\,AO = BO).\]

Do đó (c.g.c)

Suy ra \[\widehat = \widehat .\]

Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta HOM,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {OHM} = 90^\circ ;\] \[OM\] là cạnh chung; \[\widehat = \widehat \]

Do đó \[\Delta AOM = \Delta HOM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[OA = OH,\] mà \(OA = R\) nên \(OH = R\).

Vì \[OH = R\] và \[OH \bot MN\] tại \[H\] nên \[MN\] là tiếp tuyến của đường tròn \(H.\)

Do đó (i) là nhận định đúng.

Vậy ta chọn phương án C.