Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;\,2;\,1} \right),B\left( {3;\,4;\,0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 46 = 0\). Biết rằng khoảng cách từ \(A,\,B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt bằng \(6\) và \(3\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng

Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó theo giả thiết ta có: \(AB = 3\), \(AH = 6\), \(BK = 3\).

Do đó \(A,\,B\) ở cùng phía với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Lại có: \(AB + BK \ge AK \ge AH \Rightarrow H \equiv K\).

Suy ra \(A,\,B,\,H\) là ba điểm thẳng hàng và \(B\) là trung điểm của \(AH\) nên tọa độ \(H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)\) và nhận \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,2;\, - 1} \right)\]là VTPT có nên phương trình

\(2\left( {x - 5} \right) + 2\left( {y - 6} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 23 = 0\).

Theo bài ra thì \(\left( P \right):\, - 4x - 4y + 2z + 46 = 0\), nên \(a = - 4,\,b = - 4,\,c = 2\).

Vậy \(T = a + b + c = - 6\).