Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^2}\ln x\) là

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right)\), \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin D\\2\ln x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có giá trị cực tiểu là \( - \frac{1}\) tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\). Chọn C.