Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;1,B-1;2;0,C1;1;-2. Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Đáp án B

Ta có AB →=-3;-1;-1,AC →=-1;-2;-3 nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là AB →,AC →=(1;-8;5)

Suy ra (ABC) có phương trình là x-8y+5z+17=0 

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:

CH →=x-1;y-1;z+2;BH →=x+1;y-2;z

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

BH⊥ACCH⊥ABH∈ABC⇔BH →.AC →=0CH →.AB →=0H∈ABC⇔x+2y+3z=33x+y+z=2x-8y+5z=-17⇔x;y;z=215;2915;-13

Suy ra H215;2915;-13

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận AB →,AC→=1;-8;5 làm một vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là x-2151=y-2915-8=z+135 

Dễ thấy điểm M(2;13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.