Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m+3m+3sin x33=sin x có nghiệm thực ?

Đáp án A

*Phương trình m+3m+3sin x33=sin x⇔m+3m+3sin x3=sin3x 

⇔(m+3sin x)+3m+3sin x3=sin3x+3sin x   (1)

* Xét hàm số f(t)=t3+3t trên ℝ. Ta có f'(t)=3t2+3>0∀t∈ℝ nên hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.

Suy ra (1) f3+3sin x3f(sin x)⇔3+3sin x3=sin x

Đặt sin x = t,t∈[-1;1] Phương trình trở thành t3-3t=m

* Xét hàm số g(t) trên t∈-1;1 Ta có g'(t)=3t2-3≤0,∀t∈[-1;1] và g'(t)=0⇔t=±1 Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên [-1;1]

* Để phương trình có nghiệm đã cho có nghiệm thực ⇔ Phương trình t3-3t=m có nghiệm trên [-1;1]

min[-1;1]g(t)≤m≤max[-1;1]g(t)⇔g(1)≤m≤g(-1)⇔-2≤m≤2

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m∈-2;-1;0;1;2