Cho hình lăng trụ ABC A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ làa334 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được AA'//BCC'B'

⇒dAA';BC=dAA';BCC'B'=dA;BCC'B'

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A'G⊥ABC.

Ta có  SΔABC=a234

 ⇒VABC.A'B'C'=A'G.SΔABC⇔A'G=VABC.A'B'C'SΔABC=a334:a234=a

Lại có

AM=a32⇒AG=23AM=a33⇒AA'=A'G2+AG2=2a33

 Ta luôn có VA'.ABC=13VABC.A'B'C'=13.a334=a3312.

Mà VABC.A'B'C'=VA'.ABC+VA'.BCC'B' 

⇒VA'.BCC'B'=VABC.A'B'C'−VA'.ABC=a334−a3312=a336.

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có BC⊥AM,BC⊥A'G ⇒BC⊥AMM'A'⇒BC⊥MM'. Mà MM'//BB' nên BC⊥BB'⇒BCC'B' là hình chữ nhật

 ⇒SBCC'B'=BB'.BC=2a33.a=2a233 .

 Từ

VA'.BCC'B'=13dA';BCC'B'.SBCC'B'⇔dA';BCC'B'=3VA'.BCC'B'SBCC'B' 

⇒dA';BCC'B'=a332:2a233=3a4. Vậy dAA';BC=3a4.