Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

Đáp án A.

Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có SA⊥ABCD⇒SA⊥BD . Lại có AC⊥BD  (tính chất hình vuông).

Suy ra BD⊥SAC  . Do đó hình chiếu của SB trên  SAC là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  là góc giữa SB và SI, tức là góc ISB^   (do tam giác ISB vuông tại I nên ISB^   là góc nhọn). Ta có:

SB=SA2+AB2=a2+a2=a2,IB=BD2=a22

Do đó

sinISB^=IBSB=12⇒ISB^=30°

Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:

A0;0;0,B1;0;0,D0;1;0,S0;0;1Khi đó C1;1;0 .

Ta có SA→=0;0;−1,SC→=1;1;−1,SB→=1;0;−1 

Đặt n→=SA→,SC→=1;−1;0 . Khi đó n→  là một VTPT của SAC .

Gọi  α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC , β  là góc giữa vecto n→  và vecto SB→ . Ta có

sinα=cosβ=n→.SB→n→.SB→=12.2=12⇒α=30°