Biết số phức z = x + yi,(x,y∈ℝ ), thỏa mãn điều kiện z−2−4i=z−2i và có môđun nhỏ nhất. Tính P = x² + y²

Đáp án B

Ta có z = x + yi, (x,y∈ℝ ). Khi đó, điểm M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z. z−2−4i=z−2i⇔z−22+y−42=x2+y−22⇔x+y−4=0

⇒Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng Δ:x+y−4=0.

Gọi H là hình chiếu của gốc tọa độ O lên đường thẳng (Δ) .

Ta có z=OM≥OH. Do đó, z nhỏ nhất ⇔OM=OH⇔M≡H.

Mặt khác, OH⊥Δ và đi qua gốc tọa độ O nên ta được OH:x−y=0

Ta có H=OH∩Δ nên tọa độ H là nghiệm hệ x−y=0x+y−4=0⇔x=2y=2

Vậy P=x2+y2=8.