Cho hàm số y=x3−3mx2+3m2−1x−m3, với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị (C) luôn nằm trên đường thẳng cố định. Hệ số góc của đường thẳng d bằng

Chọn C.

Tập xác định D=ℝ.

Ta có: y'=3x2−6mx+3m2−1.

y'=0⇔x2−2mx+m2−1=0⇔x=m−1x=m+1.

Vì hàm số có hệ số bậc ba dương nên hàm số có điểm cực tiểu xCT=m+1.

Mặt khác ta lại có: y=x−mx−m2+3mx−3mxx−m−3x

Suy ra: yCT=xCT−mxCT−m2+3mxCT−3mxCTxCT−m−3xCT

yCT=1+3mxCT−3mxCT−3xCT=1−3xCT

Vậy tọa độ điểm cực tiểu thỏa mãn phương trình đường thẳng y=-3x+1 hay đường thẳng d có hệ số góc bằng -3