Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn 0;  2π.

Đáp án D

- Sử dụng công thức sin2x+cos2x=1.

- Đặt ẩn phụ t=5sin2x  t≥1, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1-cos2x2, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: cosx=cosα⇔x=±α+k2π  k∈Z.

- Giải bất phương trình 0≤x≤2π và tìm các nghiệm thỏa mãn

Ta có:

5sin2x+5cos2x=25⇔5sin2x+51-sin2x=25⇔5sin2x+55sin2x=25

Đặt t=5sin2x  t≥1, phương trình trở thành

t+5t=25⇔t2-25t+5=0⇔t-52=0⇔t=5  tm⇒5sin2x=5=512⇔sin2x=12⇔1-cos2x2=12⇔cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2  k∈Z

Xét x∈0;2π ta có 0≤π4+kπ2≤2π⇔-12≤k≤72. Mà k∈Z⇒k∈0;1;2;3.

⇒x=π4;3π4;5π4;7π4

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;  2π là T=π4+3π4+5π4+7π4=4π