Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=3a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, C’D’ và DD’. Tính khoảng cách từ A đến mp(MNP).

Đáp án D

Gọi E là giao điểm của NP và CD. Gọi G là giao điểm của NP và CC’. Gọi K là giao điểm của MG và B’C’. Gọi Q là giao điểm của ME và AD. Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng (MEG). Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG). Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên d1d2=HCHA. Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên

1d12=1CM2+1CE2+1CG2

Ta có GC'GC=C'NCE=13  

Suy ra GC=32CC'=9a2 

Như vậy: 1d12=1a2+49a2+481a2 

Từ đó d12=81a212⇒d1=911. Ta có QDMC=EDEC=13⇒QD=a3 

Ta có ΔHCM đồng dạng với ΔHAQ nên:

HCHA=MCAQ=a2a−a3=35⇒d1d2=35⇒d2=53d1=5.9a3.11=15a11