Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m∈-10 ; 10 để hàm số y=f3x-1+x3-3mx đồng biến trên khoảng (-2;1)?

Chọn B.

Cách 1: Ta có: y'=3f'3x-1+3x2-3m=3f'3x-1+x2-m

Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

y'≥0,∀x∈-2;1⇔f'3x-1+x2-m≥0,∀x∈-2;1f'3x-1+x2≥m,∀x∈-2;1⇔m≤min-2;1f'3x-1+x2

Đặt f'3x-1=gx và x2=hx

Quan sát bảng biến thiên ta có:

f'3x-1≥-4=f'0,3x-1∈-7;2hx=x2≥0=h0,∀x∈-2;1⇔f'3x-1≥-4=f'0,∀x∈-2;1hx=x2≥0=h0,∀x∈-2;1⇒f'3x-1+hx≥-4+0=-4,x=0⇒min-2;1gx+hx=-4,x=0

Do đó: min-2;1f'3x-1+x2=-4

Vì m∈-10;10 và m≤-4 nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39

Cách 2:

Xét hàm số y=f3x-1+x3-3mx

Ta có: y'=3f'3x-1+3x2-3m=3f'3x-1+x2-m

Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

y'≥0,∀x∈-2;1⇔f'3x-1≥-x2+m,∀x∈-2;1

Đặt gx=f'3x-1≥-x2+m=hx,∀x∈-2;1

Đặt 3x-1=tx=t+13t∈-7;2⇒f't≥ht=-t2+2t+19+m,∀t∈-7;2*

Ta có đồ thị hàm số ht=-t2+2t+19+m có đỉnh I(-1;m)

Vậy (*) thỏa mãn khi đồ thị ht=-t2+2t+19+m nằm dưới đồ thị y=f'(t)

Suy ra: m≤-4.

Với giả thiết m∈-10;10,m∈Z⇒m∈-9;-4⇒∑m=-9-4m=-39.