Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 1+2cosx+1+2sinx=m2 có nghiệm thực?

Đáp án A

Xét x∈-π;π mà 1+2sinx≥01+2cosx≥0 suy ra x∈-π6;2π3 

Ta có 1+2cosx+1+2sinx=m2⇔m28=1+sinx+cosx+1+2sinx1+2cosx 

Đặt t=sinx+cosx=2sinx+π4⇒t∈3-12;2 mà 2sinx.cosx=t2-1.

Khi đó ft=1+t+2t2+2t-1, có f't=t+2t+12t2+2t-1>0,∀t∈3-12;2

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 3-12;2⇒minft=f2=2+22maxft=f3-12=1+32 

Do đó, để ft=m28 có nghiệm ⇔1+32≤m28≤2+22⇔21+3≤m≤41+2.