Cho hàm số fx=x−322x−733x−102 023x−42 024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số hx=f−x4+8x2+mx có số điểm cực tiểu nhiều nhất là S=a;b\c. Giá trị của biểu thức T=a2−ab+b2+abc thuộc khoảng nào sau đây?

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1: f(x) = 0 thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là x=72;x=103 (1)

Trường hợp 2: fx≠0, thực hiện biến đổi

lnfx=2lnx−3+3ln2x−7+2023ln3x−10+2024lnx−4x∈ℝ\3;103;72;4

Đạo hàm hai vế ta có: f'xfx=2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4

⇒f'x=fx2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4

Ta giải:f'x=0⇔fx2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4=0

⇔fx=0L2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4=02

Xét hàm số ux=2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4 có:

u'x=−2x−32−122x−72−3.60693x−102−2024x−42<0

Suy ra ux luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Với limx→±∞fx=0, khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Khi đó (2) có các nghiệm là: x=a∈3;103;x=b∈103;72;x=c∈72;4 (3).

Từ (1) và (3), ta suy ra f(x) có 5 điểm cực trị lần lượt là a,72,b,103,c

(với 3

Tiếp đến ta xét hàm số hx=f−x4+8x2+mx có

h'x=−4x3+16x+m−x4+8x2+mxf'−x4+8x2+mx−x4+8x2+mx=0

⇔−4x3+16x+m=04−x4+8x2+mx=05f'−x4+8x2+mx=06.

Để hàm số h(x) có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Khi đó (4) tương đương với:

m=4x3−16x=qx→m∈q23;q923⇒m∈−6433;6433 (7).

Giải (5), khi đó phương trình tương đương với:

x=0−x3+8x+m=0**⇔m=x3−8x=rx⇒m∈r263;r−263 

⇒m∈−3269;3269 (8).

Từ (7) và (8) ta suy ra m∈−3269;3269\0. (9)

Giải (6), khi đó phương trình tương đương với:

−x4+8x2+mx=72;−x4+8x2+mx=103−x4+8x2+mx=a;−x4+8x2+mx=b;−x4+8x2+mx=c

⇔−x3+8x+m=±72x;−x3+8x+m=±103x−x3+8x+m=±ax;−x3+8x+m=±bx;−x3+8x+m=±cx.

Giả sử ta có hàm số px=−x3+8x+m ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số p(x) phải luôn cắt các đường cong −72x;−103x;−ax;−bx;−cx tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.

Do c≈3,6667 (sai số rất nhỏ) nên ta xem như c=72=3,5.

Gọi x0 là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa p(x) và y=72x.

Khi đó x0 là nghiệm của hệ:

−x03+8x0+m=72x0−3x02+8=−72x02⇔−x03+8x+m=72x06x04−16x02−7=0⇔−x03+8x0+m=72x0x0=±1,75

Suy ra: −±1,753+8±1,75+m=72±1,75⇔m=±6,64.

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có m∈−6,64;6,64 (10).

Từ (9) và (10) ta suy ra m∈−6,64;6,64\0.