Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn x2xy+log2xy=xy4+15xy−30+10y?

Đáp án đúng là: A

Đầu tiên ta có phương trình sau: x2xy+log2xy=xy4+15xy−30+10y(*)

⇔2xy+log2xy=y4+15y−30−10yx⇔2xy+log2xy+30x−10yx=y4+15y (1)

Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến y luôn đồng biến trên 0;+∞ (f'y=4y3+15>0 ∀y∈0;+∞).

Tiếp theo ta khảo sát hàm số gx=2xy+log2xy+30x−10yx trên 1;+∞.

Ta có:g'x=y2xyln2+1xln2−30x2+10yx2.

Thế y=3 vào ta có g'3=8x+1ln2−1xln2>64ln2−1ln2>0,∀x>1.

Suy ra ∀y≥3 thì g'x>0, kéo theo đó ta có được:

gx>g1=2y+log2y−10y+30limx→+∞gx=+∞.

Khi ấy để (*)có nghiệm∀x>1 thì cần có:

2xy+log2xy+30x−10yx>2y+log2y−10y+30 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 2y+log2y−10y+30

⇔2y+log2y−25y+30−y4<0,  ∀y≥3 (3)

Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE)y≈16,01 (**), khi đó ta có ý tưởng sau:

Giả sử đảo chiều (3), ta có: 2y+log2y−10y+30>y4+15y 

⇔2y+log2y−25y+30−y4>0 (4).

Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi y≥17.

Xét hàm số hy=2y+log2y−25y+30−y4 có h16=−366<0;h17>0 nên suy ra hy<0,∀y<17 tức hy>0,∀y≥17.

Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi y≥17 tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi 3≤y≤17.

Do (**) nên ta thử từng giá trị y:3→17 theo thứ tự từ lớn xuống.

Nhận thấy y = 17 không thỏa nên 3≤y<17

Mà đề cho y∈ℤ+ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là y∈1;2, nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra 1≤y<17 tức y∈1;2;...;15;16. Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên y thỏa mãn đề bài.