Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3x2+4y2+x+log2x2+4y2+x2−8x+4y2x≤log3x+log2x2+4y2+24x?

Đáp án đúng là: A

Đặt t=x2+4y2x  (t>0 do x > 0  ).

Từ giả thiết ⇒log3tx+x+log2tx+t−8≤log3x+log2tx+24x

⇔log3t+1+t−8≤log2t+24t

⇔log3t+1+t−8−log2t+24t≤0

Đặt ft=log3t+1+t−8−log2t+24t , t > 0 ta có:

f't=1t+1ln3+1−1t+24tln2.−24t2>0  ,∀t>0⇒ft đồng biến.

Mà ft≤f8=0⇒0

· Với y=0⇒t=x⇒x∈1;2;...8

Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

Ta có t≤8⇒x2+4y2≤8x⇒x−42+4y2≤16

4y2≤16⇔−2≤y≤2

· Với y=±2⇒x−42≤0⇒x=4

Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

· Với  y=±1⇒x−42≤12⇒−23≤x−4≤23⇒x∈1;2;...7

Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.