Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d1:x−12=y−11=z−1−2, d2:x−31=y+12=z−22,d3:x−42=y−4−2=z−11. Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm I(a;b;c), tiếp xúc với 3 đường thẳng d1, d2, d3. Giá trị tổng S=a+2b+3c là

Đáp án đúng là: A

d1 đi qua điểm A(1;1;1) có VTCP  u1→=2;1;−2.

d2 đi qua điểm B(3;-1;2) có VTCP  u2→=1;2;2.

d3 đi qua điểm C(4;4;1) có VTCP  u3→=(2;−2;1).

Ta có: u1→.u2→=0, u2→.u3→=0, u3→.u1→=0⇒d1,d2,d3 đôi một vuông góc với nhau.

u1→; u2→.AB→≠0,u2→; u3→.BC→≠0,u3→,u1→.CA→≠0⇒d1,d2,d3 đôi một chéo nhau.

Lại có: AB→=2;−2;1;AB→. u1→=0 và AB→. u2→=0 nên d1,d2,d3 chứa 3 cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Vì mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với 3 đường thẳng d1,d2,d3 nên bán kính

R=dI,d1=dI,d2=dI,d3⇔R2=d2I,d1=d2I,d2=d2I,d3

⇔R2=AI→,u→1u1→2=BI→,u2→u2→2=CI→,u3→u3¯2, ta thấy u1→2=u2→2=u3→2=9 và

AI→=a−1;b−1;c−1,AI→,u1→=−2b−c+3;2a+2c−4;a−2b+1.

BI→=a−3;b+1;c−2, BI→,u2→=2b−2c+6;−2a+c+4;2a−b−7.

CI→=a−4;b−4;c−1,CI→,u3→=b+2c−6;−a+2c+2;−2a−2b+16.

9R2=AI→,u→12=BI→,u2→2=CI→,u3→2⇒27R2=AI→,u→12+BI→,u2→2+CI→,u3→2

=18a2+b2+c2−126a−54b−54c+423

=18a−722+18b−322+18c−322+2432≥2432

⇒Rmin=322≈2,12 khi a=72, b=32, c=32.

Tổng S=a+2b+3c=11.