Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a; AD = 2a; SA⊥ABCD. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) bằng 45o. Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.MCD và khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BD

Ta có SCD∩ABCD=CD

CD⊥SACD⊥AC⇒CD⊥SAC⇒SC⊥CD

Vì SC⊥CD,SC⊂SCDAC⊥CD,AC⊂ABCD

Nên SCD,ABCD^=SCA^=45o

Dễ thấy ∆SAC vuông cân tại A

Suy ra SA = AC = a2

Lại có

 SMCD=12MC.MD=12a.a=a22

Do đó

 V=VS.MCD=13SMCDSA=13.a22.a2=a326

Ta có

 BD∥MNMN⊂SMN⇒BD∥SMN

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ AP⊥MN,P∈MNAH⊥SP,H∈SP

Suy ra AH⊥SMN⇒dASMN=AH

∆SAP vuông tại A có

1AH2=1SA2+1AP2=1SA2+1AN2+1AM2=12a2+1a24+1a2=112a2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH = a2211

Đáp án A