Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi, tam giác SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.Biết AC=2a, BD=4a.Tính theo akhoảng cách giữa hai đường thẳng ADvà SC

Chọn C

Gọi O=AC∩BD, H là trung điểm  của AB suy ra SH⊥AB.

Do AB=SAB∩ABCD và SAB⊥ABCD  nên SH⊥ABCD

Ta có: OA=AC2=2a2=a

OB=BD2=4a2=2a⇒Ab=OA2+OB2=a2+4a2=a5

SH=AB32=a152;SABCD=12AC.BD=122a.4a=4a2

Thể tích khối chóp S.ABCD là

VS.ABCD=13SH.SABCD=13a1524a2=2a3153

Ta có: BC//AD⇒AD//SBC⇒dAD,SC=dAD;SBC=dA;SBC

Do H là trung điểm của AB và B=AH∩SCB⇒dA;SBC=2dH;SBC

Kẻ HE⊥BC,H∈BC.  Do SH⊥BC⇒BC⊥SHE.

Kẻ HK⊥SE,K∈SE,  ta có BC⊥HK⇒HK⊥SBC⇒HK=dH;SBC

HE=2SBCHBC=SABCBC=SABCD2BC=4a22a5=2a55

1HK2=1HE2+1SH2=54a2+415a2=9160a2⇒HK=2a1591=2a136591

Vậy dAD,SC=2HK=4a136591.