Cho hàm số y=f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên ℝ và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết Δ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=0. Tính tích phân I=∫01xf''x2dx.

Đáp án D

Đặt t=x2⇒dt=2xdxx:0→1⇒t:0→1.

Khi đó: I=12∫01f''tdt=12f't01=12.f'1−f'0   (*)

Do hàm số y=fx  có điểm cực trị x=1⇒f'1=0.

Phương trình đường thẳng Δ:x1+y1=1⇔y=−x+1  (1)

Suy ra hệ số góc của đường thẳng Δ  là −1⇒f'0=−1  (2).

Thay (1), (2) vào (*), ta được: I=12.0−−1=12.