Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A\,,\,\,AC = a\,,\,\,\widehat {ACB} = 60^\circ .\) Đường thẳng \(BC'\) tạo với \(\left( {ACC'A'} \right)\) một góc \(30^\circ .\) Tính thể tích \(V\) của khối trụ \(ABC.A'B'C'\).

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) ta có:

\(\tan 60^\circ = \frac \Rightarrow AB = a\sqrt 3 .\)

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có hình chiếu vuông góc của cạnh \(BC'\) trên mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) là \(AC'\) \( \Rightarrow \widehat {BC'A} = 30^\circ {\rm{. }}\)

Xét tam giác \(AB{C^\prime }\) vuông tại \(A\) ta có: \[\tan 30^\circ = \frac{{AC'}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{AC'}} \Rightarrow AC' = 3a.\]

Suy ra \(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = 2a\sqrt 2 .\)

Thể tích của khối trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC' \cdot {S_{ABC}} = 2a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 6 .\) Chọn B.