Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, \[AB = BC = a,\;A\prime B = a\sqrt 3 \]. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B′C.

Ta có\[AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \]

Dựng\[Cx||AM\] khi đó\[d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {AM;\left( {B'Cx} \right)} \right)\]

\[ = d\left( {M;\left( {B'Cx} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right)\]

(vì\[BM \cap \left( {B'Cx} \right) = C\] và M là trung điểm của BC)

Dựng\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BE \bot Cx}\\{BF \bot B\prime E(1)}\end{array}} \right.\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Cx \bot BE}\\{Cx \bot BB\prime }\end{array}} \right. \Rightarrow Cx \bot (BB\prime E) \Rightarrow Cx \bot BF(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow BF \bot \left( {B'Cx} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right) = BF\]

Gọi\[P = BE \cap AM\], do \[MP//CE,MB = MC\] nên\[PB = PE\]

Mà \[BP = \frac{{\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} }} = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]

Suy ra\[BE = \frac{{\sqrt 5 }} \Rightarrow BF = \frac{{BE.BB'}}{{\sqrt {B{E^2} + B{B^{\prime 2}}} }} = \frac{{\sqrt 7 }}\]

Do đó\[d = \frac{a}{{\sqrt 7 }}\]

Đáp án cần chọn là: D