Cho hàm số y=x3+2mx2+(m+3)x+4Cm. Giá trị của tham số m để đường thẳng (d):y=x+4 cắt Cm tại ba điểm phân biệt A(0;4),B,C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 82 với điểm K(1;3) là:

Phương pháp giải:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm mối quan hệ giữa x₁,x₂ là hoành độ của B,C.

+ Viết công thức tính diện tích tam giác KBC và tìm m.

Giải chi tiết:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

x3+2mx2+(m+3)x+4=x+4⇔x3+2mx2+(m+2)x=0⇔xx2+2mx+m+2=0⇔x=0x2+2mx+m+2=0   (1)

Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1)có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇒Δ;>00+2m.0+m+2≠0⇔m2−m−2>0m≠−2⇔m>2m<−1m≠2

Gọi x1;x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)⇒Bx1;x1+4;Cx2;x2+4.

Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có: x1+x2=−2mx1⋅x2=m+2

Ta có: SKBC=12⋅d(K,BC)⋅BC.

Phương trình đường thẳng (d):y=x+4⇔x−y+4=0.

Vì B, C thuộc đường thẳng (d) nên ta có: d(K,BC)=d(K;d)=|1−3+4|12+(−1)2=2.

BC=x2−x12+x2+4−x1−42BC=2x1−x22BC=2⋅x1+x22−4x1x2BC=2⋅4m2−4(m+2)BC=22.m2−m−2

Theo bài ra ta có:

SKBC=82⇔12⋅2⋅22m2−m−2=82⇔m2−m−2=42⇔m2−m−2=32⇔m2−m−34=0

 ⇔m=1±1372

Vậy m=1±1372

Chọn C.