Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên ℝ là f'(x)=m2x4−m(m+2)x3+2(m+1)x2−(m+2)x+m. Số các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên ℝ là

Hàm số y=f(x) đồng biến trên ℝ⇔f'(x)≥0,∀x∈ℝ.

⇔m2x4−m(m+2)x3+2(m+1)x2−(m+2)x+m≥0,∀x∈ℝ

⇔(x−1)(m2x3−2mx+2x−m)≥0,∀x∈ℝ (1)

Đặt g(x)=m2x3−2mx+2x−m.

Từ (1) suy ra \(g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Thử lại, với \(m = 1\) thì

(1)⇔(x−1)(x3−2x+2x−1)≥0,∀x∈ℝ⇔(x−1)2(x2+x+1),∀x∈ℝ.

Điều này luôn đúng.

Thử lại, với m=2 thì

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - x - 1} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + {{(x + 1)}^2}} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\)

Điều này luôn đúng.

Vậy m=1,m=2 thỏa mãn bài toán.

Đáp án D