Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Ta có ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = 2AE (E là trung điểm AB) và AC = 2AD (D là trung điểm AC).

Suy ra 2AE = 2AD hay AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

AE = AD (chứng minh trên).

BAC^ là góc chung.

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

Suy ra BD = CE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án A đúng.

Đáp án B:

Ta có G là trọng tâm của ∆ABC nên BG=23BD và CG=23CE.

Mà BD = CE (chứng minh trên).

Suy ra 23BD=23CE.

Do đó BG = CG.

Vậy ∆GBC cân tại G.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án C:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

GD=12GB,GE=12GC

Do đó GD+GE=12BG+12CG=12BG+CG.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra GB+GE>12BC (điều phải chứng minh).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.