Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh \[A'B'\] và BC. Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnhA và \[(H')\] là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}}.\]

Đáp án A

Dễ dàng dựng được thiết diện như hình vẽ.

Ta có: \(\frac{{SA'}} = \frac = \frac = \frac = \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ADI}}}} = \frac{1} \Rightarrow {V_{AMP.ADI}} = \frac{V_{S.ADI}}\)

\({V_{S.ADI}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AD.AI.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a.2a.\frac{3} = \frac{{4{a^3}}}{9} \Rightarrow {V_{AMP.ADI}} = \frac{V_{S.ADI}} = \frac.\frac{{4{a^3}}}{9} = \frac{{7{a^3}}}\)

\({V_{IPBN}} = \frac{1}{6}.BN.BI.BP = \frac{1}{6}.\frac{a}{2}.a.\frac{3} = \frac{{{a^3}}} \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = {V_{AMP.ADI}} - {V_{IPBN}} = \frac{{7{a^3}}} - \frac{{{a^3}}} = \frac{{55{a^3}}}\)

\( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = {V_{k/p}} - {V_{\left( H \right)}} = {a^3} - \frac{{55{a^3}}}\) suy ra \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \frac\).