Cho ∆ABC cân tại A, có A^=50°. Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: C

Vì D thuộc đường trung trực của cạnh AB.

Nên D cách đều hai đầu mút A và B.

Suy ra DA = DB.

Do đó ∆ABD cân tại D.

Vì vậy ABD^=BAD^ (tính chất tam giác cân)

Vì ∆ABC cân tại A nên ABC^=ACB^.

∆ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 2ABC^=180°−BAC^=180°−50°=130°.

Do đó ACB^=ABC^=130°:2=65°.

Vì vậy BAD^=ABD^=65°.

Suy ra BAC^+CAD^=65°.

Do đó CAD^=65°−BAC^=65°−50°=15°≠20°.

Vì vậy đáp án A sai.

Ta có MAB^+BAD^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra MAB^=180°−BAD^=180°−65°=115°  (1).

Ta có ACB^+ACD^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra ACD^=180°−ACB^=180°−65°=115°  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MAB^=ACD^.

Xét ∆ABM và ∆CAD, có:

 AM = CD (giả thiết).

MAB^=ACD^ (chứng minh trên).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆CAD (c.g.c)

Suy ra BM = AD (cặp cạnh tương ứng).

Mà DB = DA (chứng minh trên).

Do đó BM = DB.

Suy ra ∆BMD cân tại B.

Do đó đáp án C đúng.

∆ACD có: ACD^+CAD^+ADC^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra ADC^=180°−ACD^−CAD^=180°−115°−15°=50°≠60°.

Vì vậy ∆BMD không phải là tam giác đều.

Do đó đáp án B và D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.