Cho hàm số y=x3−3x+1 có đồ thị (C). Xét các điểm A, B thay đổi thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A, B với trục tung. Có bao nhiêu điểm A có hoành độ là số nguyên dương sao cho EF<2020.

Hàm số có tập xác định là R.

y'=3x2−3.

Gọi Aa;a3−3a+1 và Bb;b3−3b+1.

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A là kA=3a2−3.

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại B là kB=3b2−3.

Vì tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau

⇒kA=kB⇔3a2−3=3b2−3⇔a2=b2⇔a=±b.

Do A, B phân biệt nên a=−b⇒B−a;−a3+3a+1.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là

d1:y=3a2−3(x−a)+a3−3a+1. 

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là

d2:y=3a2−3(x+a)−a3+3a+1. 

E là giao điểm của d1 với trục tung ⇒E0;−2a3+1.

F là giao điểm của d2 với trục tung ⇒F0;2a3+1.

Khi đó EF=4a3.

Theo giả thiết ta có 4a3<2020⇔a3<505⇔−5053

Vì a là số nguyên dương nên a∈{1;2;3;4;5;6;7}.