Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1);B(3;2;3), có tâm thuộc mặt phẳng (P):x−y−3=0 , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?

Gọi I là tâm mặt cầu\[\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)\]

Suy ra\[a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\]

\[I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\left( {b + 2} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2} = {b^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9}\\{ \Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0}\\{ \Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b}\end{array}\]

\[{R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \]

\[\min R = 2\sqrt 2 \]khi b=0

Đáp án cần chọn là: D