Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu S:x−32+y−32+z−22=9 và ba điểm A1;0;0,B2;1;3,C0;2;−3. Biết rằng quỹ tích điểm M thỏa mãn MA2+2MB→MC→=8 là một đường tròn cố định, tính bán kính của đường tròn này.

Phương pháp:

- Gọi M(x; y; z) tính MA→,MB→,MC→

- Từ giả thiết MA2+2MB→.MC→=8 chứng minh I∈S', xác định tâm I' và bán kính R' của mặt cầu (S').

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

- Chứng minh II'

- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính của đường tròn.

Cách giải:

Gọi M(x; y; z) Ta có MA→=1−x;−y;−zMB→=2−x;1−y;3−zMC→=−x;2−y;−3−z.

⇒MA2+2MB→.MC→=8

⇔1−x2+y2+z2−2x2−x+21−y2−y+23−z−3−z=8

⇔x2+y2+z2−2x+1−4x+2x2+22−3y+y2−29−z2=8

⇔x2+y2+z2−2x+1−4x+2x2+4−6y+2y2−18+2z2=8

⇔3x3+3y2+3z2−6x−6y−21=0

⇔x2+y2+z2−2x−7y−7=0 S'

⇒M∈S' là mặt cầu tâm I'(1; 1; 0), bán kính R'=1+1+7=3.

Hơn nữa, M∈S có tâm I(3; 3; 2) bán kính R = 3

Ta có: II'=22+22+22=23

⇒M=S∩S' là một đường tròn có bán kính r = AH

Dễ thấy ΔAII' cân tại A nên H là trung điểm của II'⇒IH=12II'=3.

Vậy r=AH=AI2−IH2=32−32=6.

Chọn D.