Xét ∆ABC và ∆HBA có: 

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA( =90o90o )

⇒∆ABC ∽ ∆HBA (g.g)

b) Xét ΔAHD và ΔCED có:

∠AHD=∠CED(=90o90o )

∠HDA=∠CDE (đối đỉnh)

⇒ΔAHD ~ ΔCED (g-g)

⇒AHEC = ADCD  ⇔AH.CD = CE.AD

c) Vì ΔAHD ~ ΔCED (cmt)

⇒ADCD = HDED

Xét ΔHDE và ΔADC có:

∠HDE= ∠CDA (đối đỉnh)

ADCD = HDED  (cmt)

⇒ΔHDE ~ ΔADC (c-g-c)

d) Xét ΔABD có: AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

⇒ΔABD cân tại A ⇒AB=AD (4)

⇒ AH là p/g ∠BAH

∠BAH=∠DAH (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ∠BAH=∠ECD

Xét ΔABC và ΔEDC có:

∠BAH=∠ECD (cmt)

∠BAC∠CED (=90o90o )

⇒ΔABC ~ ΔEDC (g-g)

⇒ABAC = EDEC =6868 =3434 

⇒SABCSEDC = 916916 (3)

Có: SABCSABC = AB.AC2AB.AC2 =6.826.82 =24cm224cm2

Từ (3) ⇒24SEDC24SEDC = 916916 

⇒SEDCSEDC = 12831283 cm2cm2

e) Ta có: ∠BCA=∠BAH (cùng phụ ∠ABC)

              ∠BAH=∠DAH (cmt)

⇒∠BCA=∠BAH

mà ∠DCE=∠DAH

⇒∠BCA=∠DCE

Xét ΔCHA và ΔCHF có:

∠BCA=∠DCE (cmt)

CH chung

∠AHC=∠FHC ( =90o90o )

⇒ΔCHA = ΔCHF (g-c-g)

⇒HA=HF

Xét ΔABF có: BH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

⇒ΔABF cân tại B

⇒AB=BF (5)

Tương tự: ΔBFD cân tại F. ⇒ BF=FD (6)

Tương tự: ΔFDA cân tại D.⇒FD=AD (7)

Từ (4),(5),(6),(7) suy ra: AB=BF=FD=AD

⇒ ABFD là hình thoi. (đpcm)