Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung điểm.

Gọi G là giao điểm của đường thẳng MN và PQ. Ta cần chứng minh G là trung điểm của đường chéo MP.

Ta có:
- Vì E là trung điểm của CD nên CE // AB.
- Vì F là trung điểm của AB nên BF // CD.
- Vì M là trung điểm của AF nên AM = MF.
- Vì N là trung điểm của CE nên CN = NE.
- Vì P là trung điểm của BF nên BP = PF.
- Vì Q là trung điểm của CD nên CQ = QD.

Do đó, ta có:
AM = MF, CN = NE, BP = PF, CQ = QD.

Ta có thể suy ra:
AM + MF = CN + NE (vì AM = MF và CN = NE)
AM + MF = BP + PF (vì BP = PF)
AM + MF = CQ + QD (vì CQ = QD)

Từ đó, ta có:
AM + MF + CQ + QD = CN + NE + BP + PF

Vì AM + MF + CQ + QD = AC và CN + NE + BP + PF = BD (vì CE // AB và BF // CD), nên ta có:
AC = BD

Vậy, ta có AG = GC và GD = GB.

Do đó, G là trung điểm của đường chéo MP.

Vì G là trung điểm của đường chéo MP, nên ta có MNPQ là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành.