Để tính tích phân của hàm arcsin^2(x), ta sử dụng phép đổi biến số. Gọi u = arcsin(x), khi đó du = 1/sqrt(1-x^2) dx. Ta có:

∫arcsin^2(x) dx = ∫u^2 du/sqrt(1-x^2)

Để tính tích phân này, ta sử dụng phép đổi biến số khác lần nữa. Gọi t = sin(u), khi đó dt = cos(u) du. Ta có:

∫u^2 du/sqrt(1-x^2) = ∫(arcsin(x))^2 dt/cos(u)

Với x thuộc [-1, 1], ta có u thuộc [-π/2, π/2], và cos(u) > 0. Do đó, ta có:

∫u^2 du/sqrt(1-x^2) = ∫(arcsin(x))^2 dt/cos(u)

= ∫(arcsin(x))^2 dt/cos(arcsin(x))

= ∫(arcsin(x))^2 dt/sqrt(1-x^2)

= ∫(arcsin(x))^2/sqrt(1-x^2) dt

Để tính tích phân này, ta cần sử dụng phép đổi biến số khác lần nữa. Gọi v = arcsin(x), khi đó dv = 1/sqrt(1-x^2) dx. Ta có:

∫(arcsin(x))^2/sqrt(1-x^2) dt = ∫v^2 dv

= v^3/3 + C

Với C là hằng số. Do đó, tích phân của arcsin^2(x) là v^3/3 + C, trong đó v = arcsin(x).