Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần theo yêu cầu:

### a. Tính diện tích tam giác AMC và AMN

1. **Diện tích tam giác AMC:**

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Do đó, tam giác AMC có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác AMC = \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác ABC = \(\frac{1}{2} \times 120 \text{ cm}^2 = 60 \text{ cm}^2\).

2. **Diện tích tam giác AMN:**

Để tính diện tích tam giác AMN, ta cần biết chiều cao từ điểm N xuống đường thẳng AM. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp đủ thông tin về vị trí của điểm N trên cạnh AC, chúng ta không thể tính chính xác diện tích tam giác AMN chỉ dựa vào thông tin AN = 50 cm. Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm N hoặc các thông số khác để tính diện tích tam giác AMN.

### b. So sánh diện tích tam giác BMO và CNO

Do M là trung điểm của AB và N là một điểm trên AC, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng cắt nhau để so sánh diện tích.

1. **Diện tích tam giác BMO:**

Tam giác BMO có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác BMC vì M là trung điểm của AB.

Diện tích tam giác BMO = \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác BMC.

2. **Diện tích tam giác CNO:**

Tam giác CNO có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác CBN vì N là một điểm trên AC và O là giao điểm của BN và MC.

Diện tích tam giác CNO = \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác CBN.

Vì diện tích tam giác BMC và tam giác CBN đều bằng nhau (do M là trung điểm của AB và N là một điểm trên AC), ta có:

Diện tích tam giác BMO = Diện tích tam giác CNO.

### c. Tính diện tích tứ giác AMON

Tứ giác AMON được tạo thành từ hai tam giác AMN và MON. Để tính diện tích tứ giác AMON, ta cần biết diện tích của hai tam giác này.

1. **Diện tích tam giác AMN:**

Như đã nói ở phần a, chúng ta không thể tính chính xác diện tích tam giác AMN chỉ dựa vào thông tin AN = 50 cm. Chúng ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm N hoặc các thông số khác để tính diện tích tam giác AMN.

2. **Diện tích tam giác MON:**

Tam giác MON là một phần của tam giác AMC. Vì M là trung điểm của AB, diện tích tam giác MON sẽ bằng một nửa diện tích tam giác AMC.

Diện tích tam giác MON = \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác AMC = \(\frac{1}{2} \times 60 \text{ cm}^2 = 30 \text{ cm}^2\).

Do đó, diện tích tứ giác AMON = Diện tích tam giác AMN + Diện tích tam giác MON.

Tuy nhiên, vì chúng ta không thể tính chính xác diện tích tam giác AMN, nên không thể tính chính xác diện tích tứ giác AMON chỉ dựa vào thông tin hiện có.

### Kết luận:

- Diện tích tam giác AMC là 60 cm².
- Diện tích tam giác BMO bằng diện tích tam giác CNO.
- Không thể tính chính xác diện tích tam giác AMN và diện tích tứ giác AMON chỉ dựa vào thông tin hiện có.