Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt số kẹo của Nam là \( N \) và số kẹo của Giang là \( G \).

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện:

1. Nếu Nam cho Giang 4 cái kẹo thì số kẹo của Nam gấp hai lần số kẹo của Giang:
\[ N - 4 = 2(G + 4) \]

2. Nếu Giang cho Nam 2 cái kẹo thì số kẹo của Nam gấp bốn lần số kẹo của Giang:
\[ N + 2 = 4(G - 2) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

### Bước 1: Giải phương trình thứ nhất
\[ N - 4 = 2(G + 4) \]
\[ N - 4 = 2G + 8 \]
\[ N = 2G + 12 \quad \text{(1)} \]

### Bước 2: Giải phương trình thứ hai
\[ N + 2 = 4(G - 2) \]
\[ N + 2 = 4G - 8 \]
\[ N = 4G - 10 \quad \text{(2)} \]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ (1) và (2), ta có:
\[ 2G + 12 = 4G - 10 \]
\[ 12 + 10 = 4G - 2G \]
\[ 22 = 2G \]
\[ G = 11 \]

### Bước 4: Tìm \( N \)
Thay \( G = 11 \) vào phương trình (1):
\[ N = 2G + 12 \]
\[ N = 2(11) + 12 \]
\[ N = 22 + 12 \]
\[ N = 34 \]

Vậy số kẹo của Nam là 34 cái và số kẹo của Giang là 11 cái.