Để chứng minh rằng \((x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0\) với \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \) và \( x + y + z = 1 \), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho để tìm ra mối quan hệ giữa \(x, y, z\).

Trước hết, từ điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \), ta có:
\[ \frac{xy + yz + zx}{xyz} = 1 \]
\[ xy + yz + zx = xyz \]

Từ điều kiện \( x + y + z = 1 \), ta có:
\[ x + y + z = 1 \]

Bây giờ, ta sẽ xem xét các trường hợp đặc biệt. Giả sử \(x = 1\). Khi đó, ta có:
\[ y + z = 0 \]
\[ \frac{1}{1} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \]
\[ 1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \]
\[ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \]

Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương. Do đó, \(x\) không thể bằng 1. Tương tự, \(y\) và \(z\) cũng không thể bằng 1.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử ngược lại rằng không có số nào trong \(x, y, z\) bằng 1. Khi đó, ta có:
\[ x, y, z \neq 1 \]

Xét phương trình \(x + y + z = 1\) và \(xy + yz + zx = xyz\). Nếu không có số nào trong \(x, y, z\) bằng 1, thì ta có thể giả sử \(x, y, z\) đều khác 1. Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì các điều kiện ban đầu không thể thỏa mãn đồng thời.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y, z\) phải bằng 1. Giả sử \(x = 1\), khi đó:
\[ y + z = 0 \]
Điều này là không thể vì \(y\) và \(z\) là các số thực dương.

Do đó, ít nhất một trong các số \(x, y