Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x, y) = -x^2 + xy - y^2 - 2x + 4y + 11 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm cực trị.

Bước 1: Tính các đạo hàm riêng phần của hàm số \( f(x, y) \).

\[
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -2x + y - 2
\]

\[
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x - 2y + 4
\]

Bước 2: Giải hệ phương trình \( f_x = 0 \) và \( f_y = 0 \) để tìm các điểm cực trị.

\[
-2x + y - 2 = 0 \quad \text{(1)}
\]

\[
x - 2y + 4 = 0 \quad \text{(2)}
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = 2x + 2
\]

Thay \( y = 2x + 2 \) vào phương trình (2):

\[
x - 2(2x + 2) + 4 = 0
\]

\[
x - 4x - 4 + 4 = 0
\]

\[
-3x = 0
\]

\[
x = 0
\]

Thay \( x = 0 \) vào phương trình \( y = 2x + 2 \):

\[
y = 2(0) + 2 = 2
\]

Vậy, điểm cực trị là \( (0, 2) \).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị \( (0, 2) \):

\[
f(0, 2) = -0^2 + 0 \cdot 2 - 2^2 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 11
\]

\[
= 0 + 0 - 4 + 0 + 8 + 11
\]

\[
= 15
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x, y) = -x^2 + xy - y^2 - 2x + 4y + 11 \) là \( 15 \) tại điểm \( (0, 2) \).