Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

a) Chứng minh rằng \( Ax \parallel By \):

- Xét góc \( \angle BAC = 60^\circ \) và \( \angle ABY = 110^\circ \).
- Ta có: \( \angle ABX = 180^\circ - \angle ABY = 70^\circ \).
- Vì \( \angle AXB = \angle ABX + \angle BAC = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ \).
- Từ đó suy ra \( \angle AXY + \angle AXB = 180^\circ \) (cùng một phía của đường thẳng).
- Suy ra \( \angle AXY = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
- Do đó, \( Ax \parallel By \) (vì hai góc so le trong).

b) Tính số độ góc \( BAx \):

- Ta đã chỉ ra rằng \( \angle BAX = 60^\circ \).

c) Chứng minh rằng \( By \parallel Cz \):

- Xét \( \angle ACZ = 130^\circ \) và \( \angle ABC = 110^\circ \).
- Ta có: \( \angle CBZ = 180^\circ - \angle ABC = 70^\circ \).
- Tương tự, \( \angle CBY + \angle CBZ = 180^\circ \) (cùng một phía).
- Suy ra \( \angle CBY = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
- Do đó, \( By \parallel Cz \).

d) Dù đường thẳng \( AB \) có cắt đường thẳng \( Cz \) hay không, ta cần xem xét vị trí của các điểm trên mặt phẳng:

- Nếu điểm C nằm trên đường thẳng \( AB \), thì sẽ có một giao điểm.
- Nếu không, thì đường thẳng \( AB \) và \( Cz \) sẽ không cắt nhau.

Tóm lại, các yêu cầu của bài toán đã được xử lý theo từng phần. Bạn có thể tiếp tục xây dựng chứng minh chi tiết cho các phép tính hình học và lý thuyết liên quan.