Để chứng minh tứ giác \( AMCB \) và \( ABMD \) đều là hình bình hành, ta cần sử dụng một số tính chất của hình thang cân và định nghĩa hình bình hành.

1. **Hình thang cân**: Hình thang \( ABCD \) được cho là cân với \( AB \parallel CD \) và \( CD = 2AB \). Gọi \( AB = x \) thì \( CD = 2x \).

2. **Điểm M là trung điểm của CD**:
- Khi \( M \) là trung điểm của \( CD \), thì ta có \( CM = MD = x \).

3. **Chứng minh \( AMCB \) là hình bình hành**:
- Vì \( AB \parallel CD \), nên góc \( A \) và góc \( C \) sẽ đồng vị (góc \( \angle CAB = \angle DCM \)).
- Từ \( AB \parallel CD \) và \( M \) là trung điểm, ta có \( AM \) và \( CB \) đều cắt nhau tại \( M \).
- Do đó, \( AC = BD \) (Vì \( AB = x \) và \( CD = 2x \), nên hai cạnh bên của tam giác là bằng nhau) cho nên \( AM = CB \) và \( AB = MC \) (cổng góc giữa hai tam giác).
- Do đó, \( AMCB \) là hình bình hành.

4. **Chứng minh \( ABMD \) là hình bình hành**:
- Tương tự, vì \( AB \parallel CD \) và \( M \) là trung điểm, ta có \( AM \parallel BD \) và \( AB = MD \).
- Cùng lý do như ở trên, ta có \( AB = MD \).
- Vậy, \( ABMD \) cũng là hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( AMCB \) và \( ABMD \) đều là hình bình hành.