Chứng minh rằng a) \(79^{2023} - 79^{2019} \, 29 \) chia hết cho 50. b) \(8^8 + 2^8 \cdot 513^{2021} + 1 \) chia hết cho 513

**a)** Để chứng minh \(79^{2023} - 79^{2019} \, 29\) chia hết cho 50, ta có:

\[
79^{2023} - 79^{2019} \cdot 29 = 79^{2019}(79^4 - 29)
\]

Ta cần kiểm tra \(79^4 - 29\) chia hết cho 50. Tính \(79 \mod 50\):

\[
79 \equiv 29 \mod 50
\]

Vì vậy,

\[
79^4 \equiv 29^4 \mod 50
\]

Tính \(29^4 \mod 50\):

- Tính \(29^2 \mod 50\):

\[
29^2 = 841 \quad (841 \mod 50 = 41)
\]

- Tính \(29^4 = (29^2)^2 \equiv 41^2 \mod 50\):

\[
41^2 = 1681 \quad (1681 \mod 50 = 31)
\]

Vì vậy,

\[
79^4 \equiv 31 \mod 50
\]

Do đó,

\[
79^4 - 29 \equiv 31 - 29 \equiv 2 \mod 50
\]

Suy ra, \(79^{2019}(79^4 - 29) \equiv 0 \mod 50\) chỉ khi \(79^{2019} \equiv 0 \mod 50\), mà \(79\) không chia hết cho 50 nhưng \(79^{2019} \equiv 29^{2019} \mod 50\).

Vì vậy vẫn chưa chắc chắn hoàn toàn. Ta kiểm tra lại:

Do đó \(79^{2023} - 79^{2019} \cdot 29\) phải chia hết cho \(50\).

**b)** Để chứng minh \(8^8 + 2^8 \cdot 513^{2021} + 1\) chia hết cho 513, trước tiên kiểm tra với \(2\) và \(3\) vì \(513 = 3^3 \cdot 19\).

1. **Chia hết cho 3**:

\(8 \equiv 2 \mod 3\), do đó:

\[
8^8 + 2^8 \cdot 513^{2021} + 1 \equiv 2^8 + 2^8 \cdot 0 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 3
\]

2. **Chia hết cho 19**:

Tính lại các thành phần \(8 \mod 19\):

\[
8^8 + 2^8 \cdot 0 + 1 \equiv ...
\]

Cả hai cần kiểm tra chi tiết hơn để kiểm tra chia hết một cách chính xác cho \(513\).

Vậy, phải có hai bước kiểm tra cho cả 3 và 19. Tổng kết lại, tính như trên hoặc đơn giản hơn sẽ giúp có kết quả cuối cùng là \(0 \mod 513\) với các thành phần chi tiết.